函数在某点不可导的几种典型情况
在数学分析中，一个函数在某点不可导，通常会出现以下几种情形：
一、角点（Corner）
特点：函数在该点的左右导数都存在，但不相等。
示例：
f(x)=∣x∣f(x) = |x|f(x)=∣x∣ 在 x=0x = 0x=0 处不可导。
左导数：f−′(0)=−1f'_-(0) = -1f−′(0)=−1右导数：f+′(0)=1f'_+(0) = 1f+′(0)=1
二、尖点（Cusp）
特点：函数在该点左右导数趋于无穷大，且符号相反。
示例：
f(x)=x2/3f(x) = x^{2/3}f(x)=x2/3 在 x=0x = 0x=0 处不可导。
左导数趋向于 −∞-\infty−∞右导数趋向于 +∞+\infty+∞
三、垂直切线（Vertical Tangent）
特点：函数在该点左右导数都趋向于正无穷或负无穷。
示例：
f(x)=x3f(x) = \sqrt[3]{x}f(x)=3x 在 x=0x = 0x=0 处不可导。
导数趋向于无穷大（竖直方向切线）左导数趋向于 +∞+\infty+∞右导数趋向于 +∞+\infty+∞
四、间断点（Discontinuity）
特点：函数在该点不连续 ⇒ 一定不可导。
示例：
f(x)={x+1,x≥0x−1,x<0
f(x) =
\begin{cases}
x + 1, & x \geq 0 \\
x - 1, & x < 0
\end{cases}
f(x)={x+1,x−1,x≥0x<0
在 x=0x = 0x=0 处存在跳跃不连续，因此不可导。
五、振荡不连续（Oscillating Discontinuity）
特点：函数在该点无限振荡，导数也不存在。
示例：
f(x)=xsin(1/x)f(x) = x \sin(1/x)f(x)=xsin(1/x)，定义 f(0)=0f(0) = 0f(0)=0
在 x→0x \to 0x→0 附近，函数剧烈振荡，无法取极限，因此在 x=0x = 0x=0 不可导。
六、无限不连续（Infinite Discontinuity）
特点：函数在该点函数值趋于无穷 ⇒ 不可导。示例：
f(x)=1xf(x) = \frac{1}{x}f(x)=x1 在 x=0x = 0x=0 处没有定义，趋于无穷，因此不可导。
七、其他奇异点（如 Weierstrass 函数）
特点：函数连续但处处不可导。
示例：
Weierstrass 函数：
f(x)=∑n=0∞ancos(bnπx)
f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a^n \cos(b^n \pi x)
f(x)=n=0∑∞ancos(bnπx)
其中 0
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总结
函数在某点不可导常见于以下几种情况：
✅ 角点：左右导数存在但不相等✅ 尖点：导数趋向于异号无穷✅ 垂直切线：导数趋向于正或负无穷✅ 不连续点：包括跳跃、振荡、不定义✅ 奇异连续函数：如 Weierstrass 函数，处处连续却处处不可导
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